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数值计算法是求解稳态和非稳态导热问题的十分有效的方法。随着计算机工业日新月异的发展，近年来数值计算方法及其在数值传热学中的应用也得到了飞速的进步，新的数值处理方法不断地问世，原有的方法则得到进步的充实与完善。
重点内容：
有限差分法求解稳态和非稳态导热问题的基本理论和方法
一、导热问题数值解法的基本思路
简化分析，建立物理模型；
完整的数学描述（包括导热微分方程、边界条件及初始条件）；
微分方程、边界条件及初始条件的离散（得出一系列以温度为变量的代数方程）；
求解代数方程得到问题的解即温度场（结果为非函数形式，而是离散点的温度值）；
确定热流场；
必要的讨论及实验验证。
二、离散方法
1、离散方法方法简述
已发展出来的微分方程、边界条件及初始条件的离散方法主要有：有限差分法（FDM）、有限容积法（FVM）、有限元法（FEM）、有限分析法（FAM）、边界元法（BEM）、谱分析方法（SM）、数值积分变换法（ITM）、格子-Boltzmann方法（LBM）、控制容积有限元法(CVFEM)及微分求积法(DQM)等。这里主要讨论有限差分法。
2、有限差分法概述
有限差分法是求得偏微分方程数值解的最古老的方法。对简单的几何形状的流动与传热问题也是一种最容易实施的方法。其基本实施方法是，将求解区域用网格的交点（节点）所组成的点的集合来代替。在每个节点上，描写所研究的流动与传热问题的偏微分方程中的每一个导数项用相应的差分表达式来代替，从而在每个节点上形成一个代数方程（包括内部节点方程和边界节点方程），其中包括该节点及其附近一些节点上的所求温度值。
3、有限差分基础
将求解区域分割成有限数目的网格单元，利用有限差商代替微商（微分），有限差商即为有限差分。
利用Taylor级数展开法可确定其表达式为：
有限差分分为三种（均匀网格）：
向前差分： ，误差量级为
向后差分： ，误差量级为
中心差分： ，误差量级为
三、节点方程
节点方程包括内部节点方程和边界节点方程，可利用Taylor展开法或控制体能量平衡法（热平衡法）。
1、区域的离散化
以一个矩形长柱体的非稳态导热过程为例来讨论区域离散化问题。
前图表示了长柱体矩形截面上区域离散化的情况。对于给定的空间区域，在x方向上的步长为Δx，在y方向上的步长为Δy，用它们作为空间尺度可以将矩形区域划分成纵横交错的网格，交点称为节点。然后以节点为中心，在两个节点的中心处划分界限，定出节点的控制体，二维控制体是一个个的矩形面积。网格的步长在每一个方向上可以均匀划分，也可以不均匀的划分。同样，也可对时间坐标以一定的步长 划分出时间网格。
选用不同的步长和不同的划分方法，可以将同一区域划分出不同大小、不同数目的控制体，以及不同数目的节点数。显然，随着步长的不断减小，节点数目的不断增加，由节点温度表示的离散的温度场就会更加接近连续的温度场，但计算工作量也会随之增加。
2、节点方程
典型的二维非稳态导热节点差分方程汇总如下（其中 ， ）。
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节点内型
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差分方程（Δx=Δy）
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稳定性条件
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 内部节点
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显式差分格式：
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Fo≤1/4
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隐式差分格式：
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无条件
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 平直绝热边界节点
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显式差分格式：
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Fo≤1/4
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隐式差分格式
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无条件
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 平直对流边界节点
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显式差分格式
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Fo≤
1/[2(2+Bi)]
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隐式差分格式
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无条件
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 平直辐射边界节点
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显式差分格式
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隐式差分格式
 
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无条件
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4、显式和隐式差分格式的比较
显式差分格式最突出的优点是节点温度表达式的右边只涉及K时刻的节点温度值，那么只要知道这一时刻周围节点的温度值就可以求出该节点的下一时刻的温度值；而隐式差分格式却相反，温度表达式的两端都是同一K时刻的节点温度值，这就意味着必须同时计算同一时刻所有节点的温度值，即必须联立求解K时刻所有节点的差分方程组，增大计算工作量是显而易见的。
虽然显式差分格式计算比较方便，但它却存在着一个缺点，即计算式中 值必须满足一定的条件才不至于引起数值计算出现不收敛的问题，这在数值计算中称为差分格式的不稳定性。
注意稳态导热节点差分方程不包括时间坐标，因此节点P及其控制体的能量平衡关系为：
也就无所谓显式和隐式差分格式的划分，其具体表达式可参考有关教材。
四、节点方程的求解
对应于离散温度场的每一个节点均可以列出相应的差分方程，这样就可以得出与节点数目相同的一组代数方程组。当联立求解这个代数方程组时，最后就可以得出每一个节点的温度值。
一般情况下，差分方程组是线性代数方程组，而线性代数方程组是可以用直接法和迭代法求解的。常用的直接法有高斯消元法、列主元素消去法和矩阵求逆法，而迭代法常用的有高斯－赛德尔迭代和超（欠）松弛迭代。
五、基本要求
掌握热平衡法推导内部及边界节点方程。
例题1、试推导矩形长柱体非稳态导热的内部节点方程。
答案：如图所示，由节点P及其控制体的能量平衡关系：
式中，ΦW、ΦE、φS和ΦN分别为邻近节点W、E、S和N通过传导方式传给节点P的热流量；ΦV为单位时间控制体内热源的发热量；ΔΕ为控制体单位时间内热能的增加量。
 ； 。
假设Δx=Δy（即均匀网格），经整理可以得出二维非稳态导热问题的内节点的两种差分格式的差分方程：
显式差分格式：
隐式差分格式：
例题2、试推导对流换热边界条件下平直边界的节点方程。
答案：利用边界节点及其控制体的能量平衡关系，得：
显式差分格式：
隐式差分格式：
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