§6相似理论基础

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重点内容：

相似理论内容及其对对流传热实验的指导作用。

实验研究是解决对流换热问题的主要方法。在工程上大量使用的对流换热准则关系式都是通过实验获得的。

对流换热现象本身的复杂性和太多的影响因素结实验研究带来了很大困难。然而按照相似理论，可以把所有的影响因素以某种合理的方式组合成少数几个无量纲特征数，并从整体上把它们看作综合变量。这样作不仅使问题的自变量数目大大减少，而且对扩大实验结果的应用范围极有益处。

一、物理现象相似（物理现象相似的概念及条件）

同类物理现象，影响物理现象的所有物理量场在时间和空间对应点分别相似的总和，就构成了物理相似。应注意：

①必须是同类现象才能谈相似；而且首先是几何相似。

②由于描述现象的微分方程式的制约，物理量场的相似倍数问有特定的制约关系，体现这种制约关系，是相似原理的核心；

③注意物理量的时间性和空间性。对于稳态问题，只须考虑空间分布场，不必考虑时间场。

二．相似准则数

1、相似准则数的导出

相似准则数是从确定物理现象的控制方程（微分方程）中导出的。

如二维常物性不可压缩的牛顿型流体且无内热源（忽略耗散热）稳态对流换热现象的控制方程：

令。用这些无量纲变量去取代方程组中的相应变量，可得出无量纲变量组成的方程组：

在无量纲方程中出现了欧拉数、雷诺数、普朗特数、努谢尔特数等几个无量纲的物理量，即为相似准则数。另外量纲分析理论也是寻找相似准则数和函数形式的一种重要方法，它的优点是方法简单，尤其适用于只知道影响因素，一时还列不出控制方程的那些问题。缺点是不能漏列或错列任何一个影响因素。

2、各相似准则数的定义及物理意义

列表如下。

三、相似理论基本内容

1、判断相似的条件

对于同类现象，如果单值性条件相似且同名已定准则数相等，则现象必定相似。其中单值性条件相似应包括几何相似、时间相似（非稳态对流传热）及边界条件相似。

2、相似的性质

相似现象的同名准则数必定相等。若现象１和现象２相似，则两现象的各已定准则数和待定准则数分别相等。这一相似性质为实验结果推广应用提供了理论依据。

3、准则数间的关系

由多个物理量组成的准则数存在函数关系，即对流传热准则方程式，形式为：

纯受迫对流传热：；若为常物性：

纯自然对流传热：

四、相似理论对对流传热实验的指导作用

对流换热实验的目的是获得如下实验结果：

准则数方程式的具体形式；定性温度：t_m、ｔ_w、ｔ_f；定型尺寸；适用范围

1、对对流传热实验具体指导作用

具体指导作用主要体现在回答了对流传热实验中的四个问题。

⑴如何选取模型？

模型选择的原则及依据是相似理论相似条件的内容，即保证模型与实物的现象是相似的，并易于实施实验。

⑵实验中应测量哪些物理量？

其依据是相似理论准则数间函数关系的内容，即应测量的物理量包括换热准则数方程式中各准则数所包含的所有物理量。

⑶实验数据如何整理？

其依据是相似理论准则数间函数关系的内容，即实验结果应整理为换热准则数方程式的形式，实验数据整理的任务就是确定具体形式。

⑷实验结果如何应用

其依据是相似理论相似性质的内容，即实验结果可以应用于与模型实验相似的所有现象群。

2、理论意义

⑴利用相似分析方法，将影响现象的众多物理量组成了若干准则数，从而为减少实验量打下了基础；

⑵准则数将同类现象中看来似乎没有关联的个别现象归纳为相似现象群；

⑶准则数方程反映了同一类现象中无数相似现象群之间的规律，使得可以通过实验工作量较小的模化实验来分析较为复杂的实际对流传热现象。

五、基本要求及例题

利用相似理论指导对流换热实验方案的设计及实验结果的应用。

例题1、以空气流过平板的换热问题为例，说明相似理论对对流传热实验具体指导作用。

答案：如图为平板在风洞中进行换热实验的示意图。

⑴模型的选取

依据相似理论中判断相似的条件，首先应保证是同类现象，包括单值性条件相似，若实际现象为第二类边界条件，需使用电加热，而若为第一类边界条件，则需利用饱和蒸汽加热；其次是保证同名已定准则数相等，应使得雷诺数范围包含实际现象的雷诺数。

⑵需要测量的物理量

依据相似理论中准则数间函数关系。

此现象对流传热准则数关联式形式应为。因此，必须测量的物理量应包括关联式准则数中所有的物理量，有流体来流速度u_∞,来流温度t_∞,平板表面温度t_w,平板的长度l和宽度B，以及平板的加热量Φ（通过测量电加热器的电流I和电压V而得出）。当我们获得这些物理量之后就能够热平衡关系式求出对流换热系数，即由得到。

⑶实验数据的整理方法

实验数据整理的任务就是确定中Ｃ和ｎ的数值，其依据是相似理论中准则数间函数关系。

在某一实验工况下测量上述物理量，并计算出换热系数与该工况对应，然后改变工况又得出对应的另一个换热系数值。如此进行N次，就可以得到一组对应数据如下：

将它们无量纲化可以得出。

对两边取对数有，从而使关系式变为线性关系式，如的形式。这样就使整理实验数据变得较为容易。

确定C和n的方法有最小二乘法和作图法。

最小二乘法是常用的线性拟合方法，原理和计算公式简述如下：

假定线性关系为，做k次实验得到，式中与假定关系比较误差为，。为了使W值最小，应有。

于是得到求解的方程式为，

对于本题，，，。

采用几何作图的方法亦可以求出的数值，如图所示。注意：为保证结果的准确性，直线应尽量使各点处在该线上，或均匀分布在其两侧。

⑷实验结果的应用

根据相似的性质，所得的换热准则数式可以应用到无数的与模型物理相似的现象群，而不仅仅是实物的物理现象。之所以说是现象群，是因为每一个Re均对应着一个相似现象群。

例题2、在一台缩小成为实物1/8的模型中，用20℃的空气来模拟实物中平均温度为200℃空气的加热过程。实物中空气的平均流速为6.03m/s。模型中h=195W/(m²K)。求：模型中的流速应为若干？实物中的h=？。在这一实验中，模型与实物中流体的Pr并不严格相等，你认为这样的模化实验有无实用价值？

答案：依据相似理论中判断相似的条件，模型中的流速应保证实物与模型中的对流换热现象相似，即：

；

又依据是相似理论相似性质，相似现象的同名准则数必定相等，即：

；

空气的Pr数随温度变化较小，可以忽略，这样的模化实验具有很大的实用价值。

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